จงแสดงวิธีทำ: การคำนวณหารัศมีโลกจากการสังเกตุพระอาทิตย์ตก

สืบเนื่องมาจากผมรู้มาว่า เราสามารถคำนวณหารัศมีของโลก ได้จากการดูพระอาทิตย์ตก 2 ครั้ง โดยการตกครั้งแรกให้นอนกับพื้น พอตะวันลับขอบฟ้าให้เริ่มจับเวลาและลุกขึ้นยืน เราจะเห็นขอบพระอาทิตย์โผล่ขึ้นมาอีกครั้ง พอพระอาทิตย์ตกครั้งที่สอง ให้หยุดเวลา นำเวลาที่จับได้ กับส่วนสูงของเรามาคำนวณหารัศมีของโลกได้

ระหว่างไปดูพระอาทิตย์ตกที่ผาหล่มสักบนภูกระดึง ผมลองจับเวลาดูคร่าวๆ ซึ่งแน่นอนว่ามีความคลาดเคลื่อนมากมาย แต่ก็จับเวลามาได้ประมาณ 7 วินาที ส่วนสูงผมอยู่ที่ 1.65 m เราลองมาคำนวณดูกันครับ (อาจจะมีจุดที่ผิดพลาดอยู่นะครับ ไม่ได้หาข้อมูลว่า วิธีคำนวณที่ถูกต้องเป็นยังไง)

อย่างแรก เรารู้ว่าโลกหมุนรอบตัวเอง ใช้เวลา 24 ชั่วโมง ซึ่งก็เท่ากับ 86,400 วินาที การหมุนรอบตัวเองครบ 1 รอบ จะมุนได้พื้นที่เชิงมุม 2π เรเดียน แปลว่า

• ใน 1 วินาที จะหมุนได้ 2π/86,400 เรเดียน
• ใน 7 วินาที จะหมุนได้ (2π/86,400)*7 เรเดียน = 0.0005091 เรเดียน (ขอกำหนดเลขนัยสำคัญที่ทศนิยม 7 หลัก)
• หรือเอาเวลาที่จับได้ มาเทียบกับเวลาใน 1 วัน จะประมาณได้เป็น (7/86400)*100 =  0.0081019% ของวงกลมเต็มวง ได้ค่าประมาณ 0.0291667 องศา

ด้วยพื้นที่เชิงมุมที่โลกหมุนในเวลา 7 วินาที มันเป็นองศาที่แคบมากๆ ผมลองสร้าง Pie Chart เพื่อเทียบสัดส่วนดู ได้แผนภาพหน้าตาแบบนี้ออกมาครับ

จะเห็นว่า ชิ้นที่เราได้จากเวลา 7 วินาทีนั้น ถ้ามองจากภาพรวม มันเห็นเป็นเส้นตรงเส้นเดียวเลย คือมุมมันแคบมากๆ จนเหมือนกับว่า ถ้าเราตัดแบ่งออกมา เราจะได้เป็นรูปสามเหลี่ยมคือขอบเป็นเส้นตรง ไม่ใช่ชิ้นพิซซ่าที่มีขอบโค้ง หลักการเหมือนการซอยพื้นที่ออกเป็นส่วนย่อยๆ เพื่อจะคำนวณพื้นที่รวมด้วยการอินทิเกรตนั่นแหละครับ ตรงนี้ผมขอสมมติก่อนว่า ถ้าเราซูมเข้าไปที่ขอบของชิ้นเล็กๆ ที่แบ่งมานั้น เราจะได้พื้นที่เส้นตรงนะครับ ไม่ใช่เป็นพื้นที่โค้ง เพราะมันแคบมากๆ จนไม่เห็นความโค้ง พอซูมเข้าไปที่ขอบ แล้วลากเส้นประกอบการสังเกตุพระอาทิตย์ตกทั้ง 2 ครั้ง จะได้ภาพนี้ครับ

แนวเส้น ABC คือแสงตอนพระอาทิตย์ตกครั้งแรก ตอนที่นอนสังเกตุ

แนวเส้น EBD คือแสงตอนพระอาทิตย์ตกครั้งที่สอง ตอนที่ยืนสังเกตุ

เส้น DC คือ ความสูงของผู้สังเกตุ

เส้น BC คือ ระยะเชิงเส้นที่ขอบโลก ตามเวลาที่โลกหมุนไป

กำหนดให้มุม θ คือมุม DBC
จากความรู้ตรีโกณมิติ tan θ = DC/BC
DC เรารู้อยู่แล้ว ก็คือส่วนสูงของคนสังเกตุ ในที่นี้คือ 1.65 เมตร
เรามาหา BC กันคับ

• ในเวลา 1 วัน หรือ 86,400 วินาที ระยะเชิงเส้นที่ขอบโลกกวาดไป จะเท่ากับ 2πR เมตร (จากความรู้เรื่องการหาเส้นรอบวงของวงกลม) ในที่นี้เรายังไม่รู้ค่า R นะคับ
• ใน 1 วินาที ระยะเชิงเส้นฯ คือ 2πR/86,400 เมตร
• ใน 7 วินาที ระยะเชิงเส้นฯ คือ (2πR/86,400)*7 เมตร

ตอนนี้ ในสมการ tan θ = DC/BC จะได้เป็น

tan θ = 1.65/((2πR/86,400)*7)

ถ้าเรารู้ค่า θ ก็ สามารถหาค่า R ได้ละครับ ต่อไปเราจะมาหาค่า θ กัน

ผมจะพิสูจน์ว่า θ เท่ากับระยะเชิงมุมที่โลกหมุนได้ โดยเราจะวาดรูปให้ผู้สังเกตุ สูงขึ้นไปในอวกาศเลยคับ จะได้วาดง่ายๆ และพิสูจน์ได้ง่ายด้วย

คราวนี้ ผู้สังเกตุของเราตัวสูงมาก จนเห็นความโค้งของโลกได้เลย

แนวเส้น FGH คือแสงตอนพระอาทิตย์ตกครั้งแรก ตอนที่นอนสังเกตุ

แนวเส้น IKJ คือแสงตอนพระอาทิตย์ตกครั้งสอง ตอนที่ยืนสังเกตุ
เรามีสามเหลี่ยม 2 รูป คือ  ΔGHJ กับ ΔJKL
L คือจุดศูนย์กลางโลก ซึ่งถ้าลากไปตัดกับแนวเส้นแสงอาทิตย์ทั้งสองเส้น จะได้มุมฉาก (เส้นสัมผัสวงกลมจะตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมนั้น) ดังนั้น มุม JKL และมุม GHJ จึงเป็นมุมฉาก

สามเหลี่ยมทั้ง 2 รูป มีมุมร่วม คือมุม GJH กับมุม KJL ซึ่งเป็นมุมเดียวกัน
ดังนั้น มุมที่เหลือของสามเหลี่ยมทั้ง 2 รูป คือ JGH กับ JLK จึงมีขนาดเท่ากัน (สามเหลี่ยมคล้าย)
มุม JGH ก็คือมุม θ และมุม JLK ก็คือ ระยะเชิงมุมที่โลกหมุนได้

เราจึงพิสูจน์ได้ว่า มุม θ เท่ากับระยะเชิงมุมที่โลกหมุนได้

กลับมาที่ สมการ
tan θ = 1.65/((2πR/86,400)*7)

เราได้ค่า θ = 0.0005091 เรเดียน ซึ่ง tan(0.0005091) = 0.0005091
ใส่ค่าเข้าไปในสมการ ย้ายข้างไปมา จะได้ค่า R = (1.65*86,400)/(2π*7*0.0005091) = 6,366,733.64402  เมตร
= 6,367 กิโลเมตร

ส่วนคำตอบที่ได้จาก wikipedia ก็คือ 6,371 กิโลเมตร ถือว่าใกล้เคียงมาก แต่คงมีความคลาดเคลื่อนจากหลายๆ ปัจจัย เช่น

• จุดที่สังเกตุ ควรจะเป็นทะเล เพราะเห็นขอบฟ้าชัดกว่า (ผมสังเกตุบนภู) 
• การจับเวลาอาจจะมีคลาดเคลื่อนทั้งตอนกดเริ่มและกดหยุด 
• จุดสังเกตุที่ไม่ได้อยู่บริเวณเส้นศูนย์สูตร (แต่ก็อยู่เลยมาไม่มากนัก)
• แกนโลกเอียง (ในการคำนวณ ตัดเรื่องพวกนี้ออกหมด)
• การสังเกตุทำเพียงครั้งเดียว ซึ่งถ้าให้แน่นอน ควรจะทำหลายๆ ครั้ง
• ส่วนสูงที่ใช้ ไม่ได้วัดที่ระดับสายตา แค่คิดหยาบๆ ที่ระดับพื้น และส่วนสูงของผู้สังเกตุเลย

เราสามารถทำเป็นสูตรคำนวณ เพื่อให้ผู้สังเกตุการณ์คนอื่น ลองเอาค่าของตัวเองมาใส่ในสูตรคำนวณและดูผลลัพธ์ได้ โดยสูตรคือ

R = (h*86,400)/(2π*t*tan((2π/86,400)*t))

มีตัวแปร 2 ตัวที่ต้องใช้คือ h หมายถึงส่วนสูงของผู้สังเกตุ t หมายถึงระยะเวลาระหว่างการสังเกตุพระอาทิตย์ตกทั้งสองครั้ง

ถ้าใครอยากลองพิสูจน์ ก็ไปหาที่ที่เราจะดูพระอาทิตย์ตกได้ชัดๆ แล้วลองเอามาคำนวณดูนะครับ ได้ผลอย่างไร ก็สามารถมาบอกกันได้ครับ